有教學，才有教學評價。教學評價需要有依據，這個依據便是教學評價指標。指標常常是先驗式的，儘管先驗式的評價建立在經驗的基礎上。任何人的經驗都有一定的局限性，哪怕是經過了廣泛地徵求意見，也難免會有偏頗；而且很多時候，徵求意見局限在特定的群體中，錯位現象並不罕見，所以未必具有普適性。課堂教學評價的客觀性與科學性取決於兩個方面，一是評價依據（指標）的科學合理性，二是評價者的專業素養，兩者缺一不可。無論是指標的科學合理性還是評價者的專業素養，皆有可以改進的空間。本文以數學課程為例，談談課堂教學形式與內容存在的一些爭議，指出科學合理的課堂教學評價指標是評價課堂教學的重要依據，明確課堂教學的根本目標是培養學科素養與批判精神。
1. 課堂教學的形式與內容
課堂教學包含形式與內容兩個方面。課堂教學的形式是相對比較容易觀察的，如教師的教態、語言、板書、技術運用等。在這個問題上存在一些爭議，焦點集中在兩處：一是傳統與現代教育技術的關係；二是課堂的組織形式。
多媒體運用於課堂教學始於大學，它確實在某種程度上為教學帶來了便利，提高了教學效率。然而，不同的學科對現代化教育技術的需求與運用有著很大的差別，即使同為數學課程，不同的內容對教育技術的運用也會有不同的需求，不可一概而論。例如，幾何課程可以充分運用教育技術提高教學效率，增加圖形的美觀度與可視性，甚至可以引入動態圖形幫助學生理解，但是代數類課程依賴教育技術的程度顯然有限。無論是何種數學課程，都不可能擺脫傳統的板書，依然需要以板書為主，這是毋庸置疑的。從中學到大學，無數事實表明，以多媒體為主的數學課都會有很大的局限性，教師在課堂上很難揮灑自如，數學的思維特徵難以體現。數學課堂不能依賴於多媒體已經慢慢成為管理者與教師的共識。曾有人提出：“能否規定數學課不允許使用多媒體？”雖然有些極端，但回歸傳統也許是數學課的必由之路。
對課堂組織形式的爭議主要在中小學。很多專家認為，課堂應該調動學生的積極性，要結合學生的生活體驗，讓學生獨立自主地建構知識體系，進而享受創造的樂趣。於是，各種體現學生參與的課堂教學理念層出不窮。我在聽課時曾問身邊的老師：“你們平時也是這樣上課的嗎？”老師回答很直率：“不是，有專家聽課時才這樣，否則會遭到專家的質疑甚至嚴肅批評。”可見，不是教師想這麼做或者覺得有必要這麼做，而是教學評價需要他這麼做。
課堂的組織形式沒有一定之規，否則必然陷入形式主義的泥沼。不同的課程可能需要不同的組織形式，同一門課程的不同內容也可能需要不同的組織形式，怎可一概而論？我比較贊同隨機聽課的方式，而不是有準備的公開課。因為只有這樣才能聽到原生態的課，那些公開課、示範課、競賽課大多經過了精心設計，代表不了日常教學。
我在講授高等數學或數學分析等大學基礎課程時，偶爾也會使用PPT。PPT確實很省心，還可以讓教師少吃很多粉筆灰。據說有些教師更省事：課堂全程播放錄影。記得有一次領導聽一位數學老師的課，不巧的是課室停電，用不了多媒體，只好換一個課室上課。可如果整棟樓都停電了呢？是不是就不上課了？這種現象說明了一個問題：沒有多媒體，教師便上不了課了。換言之，教師準備教的內容不在教師的腦子裏，而是在PPT裏。有教師隨機聽我的課，看我全程板書，便問：“您這樣講累不累啊？”我電腦裏有現成的PPT，本可以用的，但一次都沒使用過——因為作為一門純理論課程，PPT會嚴重影響教學的效果。
教師對教學內容的掌握有著更大的差異性。造成這種差異性的原因也有兩個方面：一是教師對教學內容理解的差異；二是教師是否有的放矢。尤其是對第二個問題的把握，很大程度上依賴於教師的專業素養。一個概念或一個定理，必有其生成的過程，進而必有其產生的原因。這個原因就是“問題”。有實習生在跟我交流時說：“我聽課的感受是，如果沒有圍繞著問題展開教學，邏輯就會比較混亂。”我告訴他們：“沒有問題的課堂必然會淪為知識點的簡單傳授，既缺少邏輯上的嚴謹，也多半會流於膚淺與平庸。”真正好的課堂不是教態多麼優美，口齒多麼伶俐，板書多麼漂亮。這些固然重要，但都是細枝末節。一節有水準的課，應該邏輯結構嚴謹，知識與思想並重，教學過程充滿了思辨性，有效突破了難點。一節行雲流水般的課，應該是讓知識在問題的分析過程中自然地流淌出來。但正如武俠小說中武學的修煉，需要健強的體魄做支撐，當抵達一定境界時，便可無招勝有招：可能招招不同，但是萬變不離其宗，如同有一個看不見的東西牽引著出招者，貫穿始終，這就是武魂。教學也是如此，教學的魂是思想。
有學生說，她看了大量播放量突破幾百萬的課，好像也就那麼回事。這不是什麼奇怪的事，正如銷量大的圖書未必是好書。別人的課可以品鑒一下，好與不好是一個很模糊的概念：同一件事情，不同群體可能會得出不同的判斷，甚至是完全相左的判斷。我告誡學生：“多瞭解別人是正確的，博他人之長為自己所用，但要學會正確的鑒別方法，而不是以從眾的心態判斷好壞。”
2. 課堂教學的評價指標
對一節課的科學評價依賴於評價指標的科學合理性。什麼是科學合理的課堂教學評價指標？至少應該體現在兩個方面：（1）突出教師對學科內容的領悟與駕馭能力。它對教師的學科素養提出了比較高的要求，不僅要熟悉學科內容，而且要具備一定的學科眼界。（2）可操作性強。教學是一項無法準確量化的工作，評分規則宜粗不宜細，但又要反映學科教學的本質。有很多評價指標體系不僅專案繁多，而且細化到1—2分，把教學評價當成了考試。即使是考試，有時也很難如此細化。例如作文評價，除了錯別字的扣分，就內容而論，是不可能細化到1—2分的程度的。
我不贊成有些評價方式。以大學的青年教師教學技能大賽為例，選手事先準備15個教案，競賽時從中隨機抽取一個做模擬試講。15個教案、模擬試講的準備固然會耗費一些時間與精力，但尚可事先做充分的準備，最重要的是可以集思廣益，由他人參與磨課。所以，但凡勢在必得的人，都會反復請人指導，盡可能練得相對完善，這樣的競賽表演成分居多。在準備充分的情況下，選手自然多了幾分自信與從容，就看臨場發揮得如何了。我之所以不欣賞這類競賽，原因在於這種方式存在兩個嚴重的弊端：（1）結果如何不完全取決於選手的準備程度、投入的精力，也取決於他人的參與程度；（2）評審者常常都是該學科的外行，看到的都是表像，對學科的內涵無從考查，導致競賽未必能決出選手的真實水準與學科素養。
還有一種競賽方式是自主選擇一個課題，按自己選擇的內容模擬講課。這類競賽的教案部分大多數情況下也不會由選手獨立完成，而是由他人深度參與。所以，教案比拼的也不是選手的水準，而是選手所在團隊的集體水準。
在我見過的各類競賽中，從比賽方式看，“田家炳杯”教育碩士教學競賽是最考驗選手學科素養與教學能力的一類競賽。競賽並不事先規定內容，只籠統劃定一個學段的內容。現場臨時抽取一個模擬講課的題簽，在一個封閉的環境裏獨立準備90分鐘的時間——沒有手機，也沒有網路，更不能跟帶隊老師接觸。要應付這樣的競賽，不僅要對整個學段的內容了然於胸，還需要對這些內容有比較深刻的理解。因為評委都是本學科的專家與一線教師，所問的問題幾乎都是針對學科內容的：教學方法技術大家都親眼所見，無需多問，需要瞭解的則是對該知識點的理解程度、內容的前後邏輯關係等。
競賽也好，教學評價也罷，既是對教師的考驗，也是對評委的考驗。如果評委沒有對相應內容的深入瞭解，很容易問得不著邊際。例如在一次競賽中，一個選手講中學函數的零點定理，評委問：“零點定理與連續函數是什麼關係？與介值定理是什麼關係？”雖然連續函數、介值定理是每個數學專業的大學生都必須掌握的內容，但已經遠遠超出了中學數學教學的內容。教學競賽畢竟主要考查對中學數學內容的領悟程度與教學能力，學科素養並不等於學科知識量，兩者不能畫等號。介值定理雖然涵蓋了零點定理，但畢竟不是中學的內容。如果跨過這個界，那就很難把握，因為任何中學的知識點都可以牽涉到大學很多學科的知識點。到底是考查教師對中學內容的理解程度和講課能力，還是考查教師對整個大學階段所學專業課程與中學相關內容的內在聯繫？有多少大學課程在教授時提示過這樣的聯繫？假如按照這位評委的提問方式，即使選手回答正確了，只要想難為選手，還可以繼續追問：“閉區間上的連續函數為什麼會有介值定理？其成立的基礎是什麼？開區間上的連續函數有類似結論嗎？為什麼？”深入鑽研過的選手也許能回答這個問題，但評委還可以繼續追問下去：“這個結論在高維空間上還成立嗎？如何表述？”如此就離題萬裏了。
在有些評價指標中會涉及現代化技術的使用，包括PPT以及幾何畫板甚至一些數學軟體的使用等。我在教授數學史、課堂教學評價等課程時，也會用PPT，因為這些課大多沒有教材，PPT更多是給學生看的。不過我的PPT僅是一個提綱，可能僅有幾頁或十數頁：一兩頁PPT便可以講上個把小時，五六個小時的課也僅有十數頁PPT。數學課特有的思辨性決定了數學課堂不可以讀PPT，否則效果是不言自明的。事實上，我沒見過一節可以稱得上成功的以PPT為主的數學課。如果讀PPT可以上好一節課，教師完全可以被機器人取代。
課堂教學評價的另一項指標是課堂是否生動有趣，體現快樂學習。我對此不以為然。學習是一項艱苦的事情，快樂並非體現在學習的過程中，而是在學習取得成效後的成功中。沒有經歷過煉獄般的刻苦，何來成功的喜悅？興趣與快樂是兩個完全不同的概念，正是因為興趣才有了刻苦的動力，才有了堅持的毅力。我們需要的是培養學生的學習興趣，不應將興趣與快樂這兩個風馬牛的概念混為一談。
課堂是否生動有趣與是否淺顯易懂也是兩個完全不同的概念。淺顯易懂的課貌似是好課，但是可能會誤人子弟。對於真想學點東西的學生來說，條理清晰、分析透徹、邏輯嚴謹的課，才是生動有趣的好課。課的好壞常常因人而異，與觀察者的眼光密切相關。有一位研究生在應聘一所中學時，還沒試講幾分鐘，便被考官打斷了：“你為什麼不按照書上的講？”看來考官認為教材就是“聖經”，是不可以違背的，甚至不可以重組。他大概沒搞清楚一件事：教師是在用教材，不是在教教材。我安慰學生：“這種品位的學校，不去也罷。只要是自己認為正確的東西，就要堅持，不要因為一時的得失放棄自己的理念，要相信天下之大，總會有自己的用武之地。”
課堂教學評價的核心是教學內容而非形式。遺憾的是，我們在評價一節課時常常本末倒置，糾纏在一些細枝末節上，忽略了教師對內容本質的理解。前面之所以強調學科素養，其根本原因是教師需要有獨立的判斷能力與批判精神。教材不是“聖經”，也在不斷完善中。教師是有條件地使用教材，而不是盲目地信奉教材，更不能無知無畏，犯了科學性錯誤而不自知。例如，有教師在講授一元二次函數時以鞭炮為例，認為鞭炮在空中的軌跡是一條拋物線，鞭炮將在最高點爆炸，甚至寫出了二次函數式。鞭炮的軌跡是拋物線嗎？其爆炸點取決於什麼？是引線燃燒的時間還是最高點？為什麼會讓人感覺在最高點爆炸？鞭炮爆炸時產生的衝擊波會形成上拋的阻力，所以給人一種感覺：鞭炮在最高點爆炸。鞭炮在爆炸的瞬間被肢解了，還談什麼拋物線？可見，創設情境不能只知道一點數學，然後想當然地做各種假設。
課堂教學的觀測點無非三個部分：（1）教師形象，包括教態、語言、板書等方面；（2）課堂的組織形式，包括課堂的節奏、邏輯層次、重點的把握、難點的突破、師生的交流等；（3）學科內容的把握，包括學科知識的準確性、課堂的思想性、情境的科學性、問題的指向性等。2023年“田家炳杯”教育碩士教學競賽的評審指標中，學科內容占了60%，教法占了20%，還有20%的答辯環節也聚焦在學科背景與內容上，這是合適的。相信從事一線教學的老師都清楚：課堂教學真正考量的是學科的基本功，而不是教法的基本功；無論是從應試的角度看，還是從學科素養提升的角度看，學科基本功都是核心。
3.  課堂教學的根本目標
數學課堂當然要講授數學知識，但知識不是教學的根本目的。知識如教材一樣也是一種載體，承載著相關課程的思想，課堂教學的根本目標則是透過知識，挖掘隱藏在背後的思想。這個挖掘過程也需要一個載體，這個載體就是“問題”（關於這個問題的詳細闡述可以參見我在《中學數學雜誌》上發表的《中學數學課堂中數學素養與思維能力的培養》一文）。挖掘數學思想的過程是培養數學思維能力、提升數學素養的過程，遠比單純的講授知識重要得多。正如哈爾莫斯所說：“具備一定的數學素養比具備一定量的數學知識重要得多。”當一個人具備了數學思維能力，具備了一定的數學素養，他就能用科學的眼光、批判的精神審視書本、審視課堂。
以趙州橋為例，似乎沒有人質疑過趙州橋的拱橋是拋物線或近似拋物線的說法。我們不能憑主觀臆斷質疑，任何質疑都要建立在科學的基礎上。橋的主要功能是使用，而不是觀賞。所以，拱橋體現的不是美學價值，而是使用價值。為什麼要建那個拱橋？兩個因素：（1）避免橋樁，方便河道通航；（2）將橋面承受的重力通過拱橋傳遞到底部——無論是垂直的橋樁還是“人”字形橋樁，都基於這樣的原理。拋物線的應力原理是什麼？它能將重力傳遞到底部嗎？這不是想當然的事情。事實上，這個由達·芬奇提出的問題困擾了數學家200年!創作油畫《抱銀貂的女子》（如圖1所示）時，達·芬奇不知道項鏈最自然的形狀是什麼樣的，便用女人的手蓋住了項鏈的底部，將這個問題留給了數學家。
如果我們認真思考而不是被動地接受書本上所說的，便不難發現，當我們雙手手指捏著一條項鏈的兩端時，項鏈自然下垂，此時雙手承受著項鏈的重力；將項鏈呈現的曲線翻轉180度，翻轉後的曲線便可以將力量傳遞到兩端——這一曲線被廣泛運用於橋樑設計中。這一曲線是什麼曲線？是拋物線嗎？這可不是拍腦袋可以搞清楚的事情，需要利用費馬的最小作用量原理來證明。它並非拋物線，而是懸鏈線，對應的函數是雙曲余弦。這個曲線當然不適合對中學生講，更別說是初中生。這可不是任何教法可以搞清楚的問題。可見，要勝任一線教學，真正需要提升的是對學科本身的認識，要有一定的批判精神。
現在有一種趨勢：課堂教學要強化應用。這可能忽視了兩個基本事實：（1）數學教師知道的應用畢竟是有限的；（2）數學已知的應用也是有限的。適當介紹一點應用並無不妥，但應該清楚應用對於數學教育的價值是什麼，是有利於對內容的理解還是真的能學以致用。我們總在提倡培養創新型人才。什麼叫創新型人才？自然不會是只懂得一點數學應用的人。
以廚師工作為例，一個人在師傅言傳身教下學會了使用菜刀、鏟子等廚具，並在師傅指導下學會了如何燒菜，可他能做出師傅做不出來的菜品嗎？一樣的廚具、一樣的調料，但不一樣的人，做出來的菜很可能有著完全不同的口感，這就是創新。數學也是一樣，我們在強調數學應用的時候是否想過，你永遠不知道某一個數學理論在某個時候會在某個領域發揮著舉足輕重的作用。曾幾何時，數論是純而又純的數學，誰能想到它在密碼學中有著重要應用？教師能夠教給學生的應用永遠是有限的，而且僅限於他知道的。任何人沒有理由要求一個數學教師是通才，上知天文，下曉地理，無所不能。由此可見，數學內在的原理與思想方法才是最根本的，掌握了思想方法，可以創造性運用。如果只是知道一些概念、定理乃至證明技巧，用不了多久，這些東西就會還給老師，最終與什麼都沒學無多大分別。唯有思想才是永恆的。
4. 結語
數學教學有別於其他課程的教學，這是數學抽象性、思辨性所決定的。是否需要更多地發揮傳統教學形式的作用是值得思考的問題——傳統教學形式並非指滿堂灌，而是以板書為教學的主要形式。
我聽過很多課，印象最為深刻的當數在吉林大學的那幾年，江澤堅先生的課讓我受益匪淺。先生不愧博古通今、學貫中西，講起課來旁徵博引、娓娓道來，像講故事一般引人入勝。從頭到尾，他都不會翻書，也不會翻備課筆記。那時也沒有多媒體，沒有相當的功力是講不出那樣的課的。深得江老師衣缽真傳的是王振鵬老師，他講課的風格與江老師很是相似：幽默風趣，常常讓人忍俊不禁，但又不失數學的嚴謹。另一個非常出色但風格迥異的老師是牛鳳文教授，他的課以嚴謹著稱。他在課堂上也是從不看教材與筆記，一手漂亮的粉筆字從頭寫到尾，不僅工工整整，而且絕不會因為寫錯而擦掉一個字。他講“範疇論”，闡述透徹卻從沒有一句多餘的話，放眼大中小學，我從來沒有見過第二個老師具備他這樣的教學基本功。他的課嚴謹有餘，幽默風趣不足，相比之下，大家或許更喜歡聽江老師與王老師的課。
網路發達了，讓我們可以見識到更多的課。有比較才有鑒別，多聽多看，慢慢地自然能分辨什麼是真正的好課。