西元2018年9月16日，清華大學電腦科學與技術系建系六十周年系慶，"貴系"1989級同學入學29周年紀念，將近三十年。
往日如昨，那一年青春年少，英姿勃發，高舉理想主義的大旗，一路高歌猛進，鬥志昂揚；彈指一揮間，三十年世事巨變，滄海桑田，昭華已逝，沉屙纏身，苟且庸瑣，意興闌珊。能夠在人生至善至純的時節，在中國最高學府浸淫於人類數千年的思想文化精髓之中，心無旁騖地欣賞體悟，實在是人生之大幸！回想在清華學習接觸到的科學人文，反觀對照這三十年的人生道路，見微知著，日有所悟。只可歎年輕時淩雲萬丈，豪情滿懷，但是文字功力不足，無法直抒胸臆；現如今一支禿筆，詞略達意，但是波瀾不驚，激情不再。近些年來，時乖命蹇，愁腸百結，回首青蔥歲月，更是悵惘慨歎。恰值系慶60周年，萬千思緒，無從談起，朝花夕拾，略述一二。
曾經去安陽殷墟探訪中華民族的文化源頭，極度震撼：一具銅鼎之中霍然一顆煮熟的敵酋人頭；一具守墓武士的骨骸，手持銅戈，殺氣騰騰，千年不墮；婦好的銅鉞，腰斬的殉葬，無一不顯示我們先祖的尚武精神。但是，更令老顧震驚的是殷墟發掘的十萬甲骨。商王武丁對周邊方國、部落發動了一系列的戰爭。他的妻子婦好多次受命代商王徵集兵員，屢任將軍征戰沙場。武丁深愛他的妻子，每次戰爭之前都用甲骨進行占卜；婦好生病時，武丁也為她占卜祈福。婦好英年早逝後，傷心欲絕的武丁王將婦好平生的所有甲骨卜辭深藏地下。數千年後，殷墟甲骨文被發掘，司馬遷史記中記載的商朝不再是上古傳說，而是輔有文字和考古證據的確鑿歷史。十萬甲骨目前流落臺灣，殷墟空留一個幽暗的巨坑，坑中一具白骨，沒有刀斫斧砍的痕跡，平靜而安詳。甲骨文是中華民族最早具有完備體系的文字，這具自願殉葬的白骨可能是最早的知識份子，是甲骨文的千年守衛者。這一切讓老顧深感欣慰：上古的中華民族，驍勇尚武，浪漫深情，同時建立了完備的文字系統，千年血脈，生生不息。時至今日，中華文明早已根深葉茂，繁花滿樹。
但是，作為科技工作者，令老顧一直耿耿於懷的是近代中國沒有發展出具有完備體系的科學，無數工藝技術世代口耳相傳，斷代於戰亂，流失於饑饉，最終沒能像甲骨文一樣演化發展，而是被湮沒在歷史長河之中。那麼人類世代積累的零散知識和技術如何才能彙集成完備的體系，持續地繁衍生長呢？科學技術發展的歷史脈絡如何把握呢？清華的早年教育給了我們很多啟迪。
數學教育
多少年後，回想初上清華，老顧覺得非常幸運，也非常感激黃連生老師。黃老師親手將老顧挑選如當時電腦系的“理論班”，同時學習數學系和電腦系的課程，這使得老顧有機會受到兩個領域的科班訓練，瞭解基礎科學和工程技術兩個領域的價值觀念、審美標準、思維方法和核心技能。在未來漫長的人生道路中，（其實是過去的30年裏），因為有了電腦技能，可以信心十足地應對眼前的苟且，同時體悟了純粹數學的優美，能夠在喘息中抬頭眺望詩和遠方。其實，理論班學習到的數學知識歸結為最為基本而又重要的是兩個框架：思維框架和計算框架。
思維的框架 理論班學習的是莫斯科大學數學系的教材，布爾巴基學派的結構主義，高屋建瓴，立意深遠，沉宏博大，融匯古今。數學分析一開始花費長篇巨著講解什麼是“數”，從公理構造整數，再構造有理數，再將有理數完備化，構造實數。陳天權老師苦口婆心，費盡心機，可是大家依然面面相覷，不知所以。其實大家並非不理解相關技術細節，而是無法領會背後的哲學意義。整數是最為基本的數學概念，但是整數是客觀實在、還是主觀構造？實數理論的構造方式揭示了現代科學體系的構造範式：公理化方法。
在武丁時期一千多年後的托勒密一世時期，古希臘的亞曆山大裏亞，誕生了歐幾裏得。人類歷史上，歐幾裏得首次用公理化方法總結梳理了零散的幾何知識，構造成完備的歐幾裏得幾何體系，時至今日，依然蓬勃發展。歐幾裏得利用5條顯而易見、無可辯駁的公理，應用嚴密而又機械的邏輯思維演繹出當時古希臘人已知的幾乎所有幾何知識，包羅萬象，洋洋大觀，但是整個體系卻簡單清晰。從此之後，公理化方法成為科學發展的範式：人類經過長期的生產實踐，觀察積累的經驗知識，最後被匯總到某一個理論體系之中，由公理經過邏輯推演出來；同時，理論體系經常做出各種預言，依隨生產技術水準的提高，逐步被驗證，融入技術發展之中。比如，概率理論的發展，開始由廣大工程師們和數學家們點滴積累，逐步建立了關鍵概念，發現了一些定理，最後柯爾莫哥洛夫應用測度論建立了概率論的公理體系。再如，愛因斯坦首先提出了公理，包括狹義相對性原理（一切物理定律（除引力外）的方程式在洛倫茲變換下保持形式不變）和光速不變原理，創建了狹義相對論；後來他又提出了公理，包括等效原理（慣性力場與引力場的動力學效應局部不可分辨）和廣義相對性原理（所有的物理定律在任何參考系中都取相同的形式），建立了廣義相對論。代數拓撲發展過程中，出現了很多種彼此不同的變體，例如單純同調、奇異同調、層論等等，後來發展出的公理體系將這些分支統一起來，簡化了理論體系，更為深刻地揭示了本質。古代中國科學發展史和西方的主要區別在於公理化方法。公理化方法的益處在於：一旦辯論雙方都認可公理，那麼整個理論體系都可以通過邏輯計算出來，因此不會出現任何歧義；理論的嚴格性容易被驗證。換言之，思維的嚴密性有了技術手段來保證，這正是中國文化所缺失的關鍵特徵之一。
由於公理化方法如此成功，希爾伯特提出了將整個數學科學公理化的宏偉藍圖，他希望建立一個完備的公理化體系，將所有的數學真理囊括進去。哥德爾的理論使希爾伯特的夢想破滅。哥德爾證明了對於任何一個包含算術公理的公理體系，都存在一個命題，無論此命題為真或者為假，都和此公理體系相容。
有理數有無窮多個，實數有無窮多個，可以證明有理數可以和實數的一個真子集建立雙射，實數無法和有理數的子集建立雙射。這意味著實數無窮多比有理數的無窮多本質上更多。那麼實數無窮多和有理數無窮多之間是否存在一個無窮多，本質上嚴格小於實數無窮多，同時又大於有理數無窮多？無論回答存在或者不存在，都不和現代數學相矛盾。開學不到3個月，理論班的同學們就深刻認識到如下的哲學思想：使得思維嚴密化、系統化、體系化的科學範式是公理化方法，同時，人類只能得到相對真理，從而逼近但是永遠達不到絕對真理。同時，哥德爾和希爾伯特之爭表明了人類探索科學的過程，是永無止境的。
同時，布爾巴基學派的結構主義對於理論班同學思維框架的奠定起到了決定性的作用。結構主義認為，自然界的時間、空間和關係可以相應被抽象成序結構、拓撲結構和代數，這些基本結構相互交織演化出更為複雜的結構，例如拓撲流形和群相結合就是李群。不同的幾何就是研究某個變換群下的不變量，自然界的客觀對象具有不同層次的結構，例如一張人臉曲面，具有拓撲結構，共形結構，黎曼度量結構，在三維空間中的嵌入結構等等。每種結構有著不同的研究手法，和數學工具。不同的工程問題需要判斷所在的結構層次，用到不同的理論工具。例如物理中的等效電阻，本質上是共形結構起作用；而量子霍爾效應，本質上是拓撲結構起作用。在過去幾十年裏，老顧一直用電腦來研究共形結構。
計算的框架 理論班的同學經過學習“什麼是數”，領悟到另外一個極為重要的數學思想：完備化。數學分析的根基在於微積分，微積分要求運算所施加的數系對求極限封閉，即所謂的完備性。有理數域並不完備，因此我們需要將有理數完備化：將每個有理數柯西列（的等價類）看成是一個實數。用這種古怪而又迂回的思想來解釋什麼是“數”，使得大家難以適從。多少年後，我們才真正理解背後的深刻性。理論班在本科的最後數學課程是泛函分析，偏微分方程。自然的物理現象都滿足最小作用原理，我們可以提出一種以函數為引數的能量，然後構造一族函數序列，使得能量逐步減小，這一能量遞減序列的極限就是問題的解。這要求函數空間對於函數序列求極限封閉。我們將有理數完備化的思想用於函數空間，這樣就將經典函數空間推廣到索伯列夫空間，從而奠定了偏微分方程的理論基礎。
在後來的研究生涯中，老顧意識到，絕大多數的物理定律最終都表示成偏微分方程，很多工程和醫學領域的問題最終也歸結為求解偏微分方程。很多工程新領域的建立往往依賴於某個偏微分方程解存在性的證明確立，這些領域的最終演算法其實都等價於某種數值偏微分方程的解法，或者某種等價的最小作用原理。因此，偏微分方程理論的掌握，實際上對於工程方面的理論研究起著極為重要的作用；而數值偏微分方程的演算法掌握，對於工程方面的應用研究必不可少。
從另外一個角度而言，人類思維的最高表現形式是科學理論體系，具體表現形式是公理體系，最終可以歸結為從公理到定理的邏輯計算問題。依循這一發展脈絡，自然就是人工智慧的符號主義。將公理體系代數化，符號主義歸結為計算代數。計算代數的理論根基在於希爾伯特定理：多元多項式環中的理想是有限生成的；計算代數的主要演算法包括吳文俊方法和Grobner基方法。但是，這些演算法的複雜度都是指數級的，目前的算力無法使得電腦能夠自動發現人類尚未意識到的深刻定理。通過和吳文俊先生的高足王東明、高小山老師交流，老顧得知目前局部微分幾何的定理可以用計算代數自動推出，但是整體微分幾何定理還無法自動證明，關鍵在於代數拓撲理論還沒有進入機器定理證明領域。
因此可以，數值代數方程的理論和演算法，是計算框架中不可或缺的組成部分。
老顧研究的計算共形幾何的框架基本上是用偏微分方程方法，但是存在等價的計算代數方法。計算代數方法所得結論都是絕對精確的，因此計算複雜度非常高；計算偏微分方程方法所得結果是近似的，因此複雜度較低，實際中比較常用。